[BaekJoon] #2293 - 동전 1 [Java][C++]

문제 링크

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1. 아이디어

$n$가지 동전을 무한히 사용할 수 있을 때 그 합이 $k$가 되는 경우의 수를 구하는 문제다. 일종의 무한 배낭 문제로 여기서는 최댓값이 아닌 모든 경우의 수를 구해야 한다.

경우의 수는 현재 동전을 고려하는 상황에서 현재 동전을 사용하지 않을 경우 이전 동전들로만 만들 수 있었던 경우의 수만큼은 만들 수 있다. 현재 동전을 사용하는 경우 이전 동전들로만 만들 수 있었으면서 현재 동전의 가치만큼 더 적게 담은 배낭에서 담지 않고 현재 동전까지 사용했을 수 있으면서 현재 동전의 가치만큼 더 적게 담은 배낭에서 담아야 한다. 그래야 현재 동전을 여러 번 사용하는 경우까지 전부 셀 수 있다.

어떤 동전도 사용하지 않았을 때 0원을 만드는 경우의 수는 1가지이므로 dp 테이블을 해당 값으로 초기화한 후 갱신하며 구하면 된다.

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2. 복잡도

접근	시간	공간
배열 DP	$O(N \times K)$	$O(N \times K)$
공간 최적화 DP	$O(N \times K)$	$O(N + K)$

($N$ = 입력값 n, $K$ = 입력값 k. 배열 DP의 C++는 롤링 배열이라 공간 $O(N + K)$)

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3. 코드

풀이 1: 배열 DP [Java][C++]

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

        int n = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int k = Integer.parseInt(st.nextToken());

        int[] coins = new int[1 + n];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            coins[i] = Integer.parseInt(br.readLine());
        }

        int[][] dp = new int[1 + n][1 + k];
        dp[0][0] = 1;  // 어떤 동전도 사용하지 않았을 때 0원을 만드는 경우는 1가지
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int coin = coins[i];

            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                if (j < coin) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - coin];
                }
            }
        }

        System.out.println(dp[n][k]);
    }
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[2][1 + 10000];  // 롤링 배열

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    int n, k;
    cin >> n >> k;

    vector<int> coins(n);
    for (int& x : coins) cin >> x;

    int prv = 0;
    int cur = 1;
    dp[0][0] = 1;  // 어떤 동전도 사용하지 않았을 때 0원을 만드는 경우는 1가지
    for (int coin : coins) {
        for (int j = 0; j <= k; j++) {
            if (j < coin) {
                dp[cur][j] = dp[prv][j];
            } else {
                dp[cur][j] = dp[prv][j] + dp[cur][j - coin];
            }
        }

        // 롤링
        prv ^= 1;
        cur ^= 1;
    }

    cout << dp[prv][k];
}

C++로는 2차원 dp 풀이가 메모리 초과(4MB 제한)가 발생했다. 기존 로직을 크게 수정하지 않으면서 메모리를 효율적으로 사용하는 롤링 배열 기법을 적용했다.

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풀이 2: 공간 최적화 DP [Java][C++]

import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine());

        int n = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int k = Integer.parseInt(st.nextToken());

        int[] coins = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            coins[i] = Integer.parseInt(br.readLine());
        }

        int[] dp = new int[1 + k];
        dp[0] = 1;  // 어떤 동전도 사용하지 않았을 때 0원을 만드는 경우는 1가지
        for (int coin : coins) {
            for (int j = coin; j <= k; j++) {
                dp[j] += dp[j - coin];
            }
        }

        System.out.println(dp[k]);
    }
}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int dp[1 + 10000];

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    int n, k;
    cin >> n >> k;

    vector<int> coins(n);
    for (int& x : coins) cin >> x;

    dp[0] = 1;  // 어떤 동전도 사용하지 않았을 때 0원을 만드는 경우는 1가지
    for (int coin : coins) {
        for (int j = coin; j <= k; j++) {
            dp[j] += dp[j - coin];
        }
    }

    cout << dp[k];
}

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